Berlekamp–Massey 算法

Berlekamp–Massey 算法是一种用于求数列的最短递推式的算法。给定一个长为 $n$ 的数列，如果它的最短递推式的阶数为 $m$，则 Berlekamp–Massey 算法能够在 $O(nm)$ 时间内求出数列的每个前缀的最短递推式。最坏情况下 $m=O(n)$，因此算法的最坏复杂度为 $O(n^2)$。

定义

定义一个数列 $\{a_0\dots a_{n-1}\}$ 的递推式为满足下式的序列 $\{r_0\dots r_m\}$：

$\sum _{j=0}^m{r}_j{a}_{i-j}=0,\mathrm{\forall }i\ge m$

其中 $r_0=1$。$m$ 称为该递推式的 阶数。

数列 $\{a_i\}$ 的最短递推式即为阶数最小的递推式。

做法

与上面定义的稍有不同，这里定义一个新的递推系数 $\{f_0\dots f_{m-1}\}$，满足：

$a_i=\sum _{j=0}^{m-1}{f}_j{a}_{i-j-1},\mathrm{\forall }i\ge m$

容易看出 $f_i=-r_{i+1}$，并且阶数 $m$ 与之前的定义是相同的。

我们可以增量地求递推式，按顺序考虑 $\{a_i\}$ 的每一位，并在递推结果出现错误时对递推系数 $\{f_i\}$ 进行调整。方便起见，以下将前 $i$ 位的最短递推式记为 $F_i=\{f_{i,j}\}$。

显然初始时有 $F_0=\{\}$。假设递推系数 $F_{i-1}$ 对数列 $\{a_i\}$ 的前 $i-1$ 项均成立，这时对第 $i$ 项就有两种情况：

1. 递推系数对 $a_i$ 也成立，这时不需要进行任何调整，直接令 $F_i=F_{i-1}$ 即可。
2. 递推系数对 $a_i$ 不成立，这时需要对 $F_{i-1}$ 进行调整，得到新的 $F_i$。

设 ${\mathrm{\Delta }}_i=a_i-\sum _{j=0}^m{f}_{i-1,j}{a}_{i-j-1}$，即 $a_i$ 与 $F_{i-1}$ 的递推结果的差值。

如果这是第一次对递推系数进行修改，则说明 $a_i$ 是序列中的第一个非零项。这时直接令 $F_i$ 为 $i$ 个 $0$ 即可，显然这是一个合法的最短递推式。

否则设上一次对递推系数进行修改时，已考虑的 $\{a_i\}$ 的项数为 $k$。如果存在一个序列 $G=\{g_0\dots g_{m^{\prime }-1}\}$，满足：

$\sum _{j=0}^{m^{\prime }-1}{g}_j{a}_{i^{\prime }-j-1}=0,\mathrm{\forall }{i}^{\prime }\in [m^{\prime },i)$

并且 $\sum _{j=0}^{m^{\prime }-1}{g}_j{a}_{i-j-1}={\mathrm{\Delta }}_i$，那么不难发现将 $F_k$ 与 $G$ 按位分别相加之后即可得到一个合法的递推系数 $F_i$。

考虑如何构造 $G$。一种可行的构造方案是令

$G=\{0,0,\dots ,0,\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{{\mathrm{\Delta }}_k},-\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{{\mathrm{\Delta }}_k}{F}_{k-1}\}$

其中前面一共有 $i-k-1$ 个 $0$，且最后的 $-\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{{\mathrm{\Delta }}_k}{F}_{k-1}$ 表示将 $F_{k-1}$ 每项乘以 $-\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{{\mathrm{\Delta }}_k}$ 后接在序列后面。

不难验证此时 $\sum _{j=0}^{m^{\prime }-1}{g}_j{a}_{i-j-1}={\mathrm{\Delta }}_k\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{{\mathrm{\Delta }}_k}={\mathrm{\Delta }}_i$，因此这样构造出的是一个合法的 $G$。将 $F_i$ 赋值为 $F_k$ 与 $G$ 逐项相加后的结果即可。

如果要求的是符合最开始定义的递推式 $\{r_i\}$，则将 $\{f_j\}$ 全部取相反数后在最开始插入 $r_0=1$ 即可。

从上述算法流程中可以看出，如果数列的最短递推式的阶数为 $m$，则算法的复杂度为 $O(nm)$。最坏情况下 $m=O(n)$，因此算法的最坏复杂度为 $O(n^2)$。

在实现算法时，由于每次调整递推系数时都只需要用到上次调整时的递推系数 $F_k$，因此如果只需要求整个数列的最短递推式，可以只存储当前递推系数和上次调整时的递推系数，空间复杂度为 $O(n)$。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44

vector<int> berlekamp_massey(const vector<int> &a) {
  vector<int> v, last;  // v is the answer, 0-based, p is the module
  int k = -1, delta = 0;

  for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++) {
    int tmp = 0;
    for (int j = 0; j < (int)v.size(); j++)
      tmp = (tmp + (long long)a[i - j - 1] * v[j]) % p;

    if (a[i] == tmp) continue;

    if (k < 0) {
      k = i;
      delta = (a[i] - tmp + p) % p;
      v = vector<int>(i + 1);

      continue;
    }

    vector<int> u = v;
    int val = (long long)(a[i] - tmp + p) * power(delta, p - 2) % p;

    if (v.size() < last.size() + i - k) v.resize(last.size() + i - k);

    (v[i - k - 1] += val) %= p;

    for (int j = 0; j < (int)last.size(); j++) {
      v[i - k + j] = (v[i - k + j] - (long long)val * last[j]) % p;
      if (v[i - k + j] < 0) v[i - k + j] += p;
    }

    if ((int)u.size() - i < (int)last.size() - k) {
      last = u;
      k = i;
      delta = a[i] - tmp;
      if (delta < 0) delta += p;
    }
  }

  for (auto &x : v) x = (p - x) % p;
  v.insert(v.begin(), 1);

  return v;  // $\forall i, \sum_{j = 0} ^ m a_{i - j} v_j = 0$
}

朴素的 Berlekamp–Massey 算法求解的是有限项数列的最短递推式。如果待求递推式的序列有无限项，但已知最短递推式的阶数上界，则只需取出序列的前 $2m$ 项即可求出整个序列的最短递推式。（证明略）

应用

由于 Berlekamp–Massey 算法的数值稳定性比较差，在处理实数问题时一般很少使用。为了叙述方便，以下均假定在某个质数 $p$ 的剩余系下进行运算。

求向量列或矩阵列的最短递推式

如果要求向量列 ${\mathit{v}}_i$ 的最短递推式，设向量的维数为 $n$，我们可以随机一个 $n$ 维行向量 ${\mathbf{u}}^T$，并计算标量序列 $\{{\mathit{u}}^T{\mathit{v}}_i\}$ 的最短递推式。由 Schwartz–Zippel 引理，二者的最短递推式有至少 $1-\frac{n}{p}$ 的概率相同。

求矩阵列 $\{A_i\}$ 的最短递推式也是类似的，设矩阵的大小为 $n\times m$，则只需随机一个 $1\times n$ 的行向量 ${\mathbf{u}}^T$ 和一个 $m\times 1$ 的列向量 $\mathit{v}$，并计算标量序列 $\{{\mathit{u}}^T{A}_i\mathit{v}\}$ 的最短递推式即可。由 Schwartz–Zippel 引理可以类似地得到二者相同的概率至少为 $1-\frac{n+m}{p}$。

优化矩阵快速幂

设 ${\mathit{f}}_i$ 是一个 $n$ 维列向量，并且转移满足 ${\mathit{f}}_i=A{\mathit{f}}_{i-1}$，则可以发现 $\{{\mathit{f}}_i\}$ 是一个不超过 $n$ 阶的线性递推向量列。（证明略）

我们可以直接暴力求出 ${\mathit{f}}_0\dots {\mathit{f}}_{2n-1}$，然后用前面提到的做法求出 $\{{\mathit{f}}_i\}$ 的最短递推式，再调用 常系数齐次线性递推 即可。

如果要求的向量是 ${\mathit{f}}_m$，则算法的复杂度是 $O(n^3+n\log n\log m)$。如果 $A$ 是一个只有 $k$ 个非零项的稀疏矩阵，则复杂度可以降为 $O(nk+n\log n\log m)$。但由于算法至少需要 $O(nk)$ 的时间预处理，因此在压力不大的情况下也可以使用 $O(n^2\log m)$ 的线性递推算法，复杂度同样是可以接受的。

求矩阵的最小多项式

方阵 $A$ 的最小多项式是次数最小的并且满足 $f(A)=0$ 的多项式 $f$。

实际上最小多项式就是 $\{A^i\}$ 的最小递推式，所以直接调用 Berlekamp–Massey 算法就可以了。如果 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，则显然最小多项式的次数不超过 $n$。

瓶颈在于求出 $A^i$，因为如果直接每次做矩阵乘法的话复杂度会达到 $O(n^4)$。但考虑到求矩阵列的最短递推式时实际上求的是 $\{{\mathit{u}}^T{A}^i\mathit{v}\}$ 的最短递推式，因此我们只要求出 $A^i\mathit{v}$ 就行了。

假设 $A$ 有 $k$ 个非零项，则复杂度为 $O(kn+n^2)$。

求稀疏矩阵行列式

如果能求出方阵 $A$ 的特征多项式，则常数项乘上 $(-1{)}^n$ 就是行列式。但是最小多项式不一定就是特征多项式。

实际上如果把 $A$ 乘上一个随机对角阵 $B$，则 $AB$ 的最小多项式有至少 $1-\frac{2n^2-n}{p}$ 的概率就是特征多项式。最后再除掉 $\text{det}B$ 就行了。

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且有 $k$ 个非零项，则复杂度为 $O(kn+n^2)$。

求稀疏矩阵的秩

设 $A$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，首先随机一个 $n\times n$ 的对角阵 $P$ 和一个 $m\times m$ 的对角阵 $Q$, 然后计算 $QAP{A}^{T}Q$ 的最小多项式即可。

实际上不用调用矩阵乘法，因为求最小多项式时要用 $QAP{A}^{T}Q$ 乘一个向量，所以我们依次把这几个矩阵乘到向量里就行了。答案就是最小多项式除掉所有 $x$ 因子后剩下的次数。

设 $A$ 有 $k$ 个非零项，且 $n\le m$，则复杂度为 $O(kn+n^2)$。

解稀疏方程组

问题：已知 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, 其中 $A$ 是一个 $n\times n$ 的 满秩 稀疏矩阵，$\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{x}$ 是 $1\times n$ 的列向量。$A,\mathbf{b}$ 已知，需要在低于 $n^{\omega }$ 的复杂度内解出 $x$。

做法：显然 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$。如果我们能求出 $\{A^i\mathbf{b}\}$($i\ge 0$) 的最小递推式 $\{r_0\dots r_{m-1}\}$($m\le n$), 那么就有结论

$A^{-1}\mathbf{b}=-\frac{1}{r_{m-1}}\sum _{i=0}^{m-2}{A}^i\mathbf{b}{r}_{m-2-i}$

（证明略）

因为 $A$ 是稀疏矩阵，直接按定义递推出 $\mathbf{b}\dots A^{2n-1}\mathbf{b}$ 即可。

同样地，设 $A$ 中有 $k$ 个非零项，则复杂度为 $O(kn+n^2)$。

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39

vector<int> solve_sparse_equations(const vector<tuple<int, int, int>> &A,
                                   const vector<int> &b) {
  int n = (int)b.size();  // 0-based

  vector<vector<int>> f({b});

  for (int i = 1; i < 2 * n; i++) {
    vector<int> v(n);
    auto &u = f.back();

    for (auto [x, y, z] : A)  // [x, y, value]
      v[x] = (v[x] + (long long)u[y] * z) % p;

    f.push_back(v);
  }

  vector<int> w(n);
  mt19937 gen;
  for (auto &x : w) x = uniform_int_distribution<int>(1, p - 1)(gen);

  vector<int> a(2 * n);
  for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++) a[i] = (a[i] + (long long)f[i][j] * w[j]) % p;

  auto c = berlekamp_massey(a);
  int m = (int)c.size();

  vector<int> ans(n);

  for (int i = 0; i < m - 1; i++)
    for (int j = 0; j < n; j++)
      ans[j] = (ans[j] + (long long)c[m - 2 - i] * f[i][j]) % p;

  int inv = power(p - c[m - 1], p - 2);

  for (int i = 0; i < n; i++) ans[i] = (long long)ans[i] * inv % p;

  return ans;
}

例题

1. LibreOJ #163. 高斯消元 2
2. ICPC2021 台北 Gym103443E. Composition with Large Red Plane, Yellow, Black, Gray, and Blue

本页面最近更新：2024/10/9 22:38:42，更新历史
发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：Tiphereth-A, antileaf, Enter-tainer, AntiLeaf, ZnPdCo
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用