概率初步

概述

本文介绍一些概率论的基础概念。

为了简单起见，本文中提到的所有集合都默认是 有限集。如想了解更一般的理论，请阅读任何一本大学概率论课本，或者期待本文的后续更新（如果有这回事的话）。

事件

样本输出、样本空间、随机事件

在一次随机试验 中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本输出。在随机试验中可能发生的所有样本输出的集合称为 样本空间，用 来表示。

也就是说，进行一次随机试验 ，其结果一定符合 中的恰好一个元素，不可能是零个或多个。例如在一次掷骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示样本输出，那么一共可能出现 个样本输出，则样本空间可以表示为 。

一个 随机事件 是样本空间 的子集，它由样本空间 中的元素构成，用大写字母 表示。例如在掷两个骰子的随机试验中，设随机事件 为“获得的点数和大于 ”，则 是由下面 个样本输出组成的集合：。

事件的计算

因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的，因此可以把事件当作集合来对待。

和事件：相当于 并集。若干个事件中只要其中之一发生，就算发生了它们的和事件。

积事件：相当于 交集。若干个事件必须全部发生，才算发生了它们的积事件。

概率

定义

古典定义

如果一个试验满足两条：

• 试验只有有限个基本结果；
• 试验的每个基本结果出现的可能性是一样的；

这样的试验便是古典试验。 对于古典试验中的事件 ，它的概率定义为 ，其中 表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目， 表示事件 包含的试验基本结果数。

统计定义

如果在一定条件下，进行了 次试验，事件 发生了 次，如果随着 逐渐增大，频率 逐渐稳定在某一数值 附近，那么数值 称为事件 在该条件下发生的概率，记做 。

公理化定义

设 是随机试验， 是它的样本空间；再设 是样本空间 的幂集的一个非空子集，称为事件空间。对事件空间 的每一个元素（称为事件） 赋予一个实数，记为 ，称为事件 的概率。其中：

满足以下条件：

• ；

• 若 ，则 ；

• 若 ，则 。

简言之，就是事件空间 对其所有元素的补运算、并运算是封闭的，且包含元素 。

是一个从集合到实数的映射，满足以下公理：

• 非负性：对于一个事件 ，有概率 。

• 规范性：样本空间的概率值为 ，即 。

• 可加性：若 ，则 。

由 构成的这样的一个系统称为一个 概率空间。

例如在掷一个骰子的随机试验中，如果用获得的点数来表示样本输出，则样本空间可以表示为 ，事件空间可以表示为 。设事件 表示得到的点数大于 ，事件 表示得到的点数是偶数，则 ，。

计算

• 广义加法公式: 对任意两个事件 ，
• 条件概率: 记 表示在 事件发生的前提下， 事件发生的概率，则 （其中 为事件 和事件 同时发生的概率）。
• 乘法公式:
• 全概率公式：若事件 构成一组完备的事件且都有正概率，即 且 ，则有 。
• 贝叶斯定理：

随机变量

直观地说，一个随机变量，是一个取值由随机事件决定的变量。

如果基于概率的公理化定义，那么一个随机变量——形式化地说——是一个从样本空间 到实数集 （或者 的某个子集）的映射 。如果 ，你可以直观理解为：当随机实验 取结果 时，该随机变量取值 。

由此可以看到，“随机变量 取值 ”（简记为 ）也对应着一个能实现该命题的单位事件集合，因此它也是一个事件，于是也有与之对应的概率 。

独立性

直观地说，我们认为两个东西独立，当它们在某种意义上互不影响。例如，一个人出生的年月日和他的性别，这两件事是独立的；但一个人出生的年月日和他现在的头发总量，这两件事就不是独立的，因为一个人往往年纪越大头发越少。

数学中的独立性与这种直观理解大体相似，但不尽相同。

随机事件的独立性

我们称两个事件 独立，当 。

我们称若干个事件 互相独立，当对于其中任何一个子集，该子集中的事件同时发生的概率，等于其中每个事件发生概率的乘积。形式化地说：

由此可见，若干事件 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。

随机变量的独立性

以下用 表示随机变量 的取值范围。即，如果把 看作一个映射，则 就是其值域。

我们称两个随机变量 独立，当 ，即 取任意一组值的概率，等于 和 分别取对应值的概率乘积。

我们称若干个随机变量 互相独立，当 取任意一组值的概率，等于每个 分别取对应值的概率乘积。形式化地说：

由此可见，若干随机变量 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。

期望

定义

如果一个随机变量的取值个数有限（比如一个表示骰子示数的随机变量），或可能的取值可以一一列举出来（比如取值范围为全体正整数），则它称为 离散型随机变量。

形式化地说，一个随机变量被称为离散型随机变量，当它的值域大小 有限 或者为 可列无穷大。

一个离散型随机变量 的 数学期望 是其每个取值乘以该取值对应概率的总和，记为 。

其中 表示随机变量 的值域， 表示 所在概率空间的样本集合。

请读者自行验证连等式中的第二个等号。

性质

• 全期望公式：，其中 是随机变量， 是在 成立的条件下 的期望（即“条件期望”）。可由全概率公式证明。
• 期望的线性性: 对于任意两个随机变量 （不要求相互独立），有 。利用这个性质，可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量，分别求这些变量的期望值，最后相加得到所求变量的值。
• 乘积的期望: 当两个随机变量 相互独立时，有 。

例题

NOIP2017 初赛 T14, T15

NOIP2016 换教室（概率期望 DP）

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