概率初步
概述
本文介绍一些概率论的基础概念。
为了简单起见,本文中提到的所有集合都默认是 有限集。如想了解更一般的理论,请阅读任何一本大学概率论课本,或者期待本文的后续更新(如果有这回事的话)。
事件
样本输出、样本空间、随机事件
在一次随机试验
也就是说,进行一次随机试验
一个 随机事件 是样本空间
事件的计算
因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的,因此可以把事件当作集合来对待。
和事件:相当于 并集。若干个事件中只要其中之一发生,就算发生了它们的和事件。
积事件:相当于 交集。若干个事件必须全部发生,才算发生了它们的积事件。
概率
定义
古典定义
如果一个试验满足两条:
- 试验只有有限个基本结果;
- 试验的每个基本结果出现的可能性是一样的;
这样的试验便是古典试验。 对于古典试验中的事件
统计定义
如果在一定条件下,进行了
公理化定义
设
;若
,则 ;若
,则 。
简言之,就是事件空间
非负性:对于一个事件
,有概率 。规范性:样本空间的概率值为
,即 。可加性:若
,则 。
由
例如在掷一个骰子的随机试验中,如果用获得的点数来表示样本输出,则样本空间可以表示为
计算
- 广义加法公式: 对任意两个事件
, - 条件概率: 记
表示在 事件发生的前提下, 事件发生的概率,则 (其中 为事件 和事件 同时发生的概率)。 - 乘法公式:
- 全概率公式:若事件
构成一组完备的事件且都有正概率,即 且 ,则有 。 - 贝叶斯定理:
随机变量
直观地说,一个随机变量,是一个取值由随机事件决定的变量。
如果基于概率的公理化定义,那么一个随机变量——形式化地说——是一个从样本空间
由此可以看到,“随机变量
独立性
直观地说,我们认为两个东西独立,当它们在某种意义上互不影响。例如,一个人出生的年月日和他的性别,这两件事是独立的;但一个人出生的年月日和他现在的头发总量,这两件事就不是独立的,因为一个人往往年纪越大头发越少。
数学中的独立性与这种直观理解大体相似,但不尽相同。
随机事件的独立性
我们称两个事件
我们称若干个事件
由此可见,若干事件 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。
随机变量的独立性
以下用
我们称两个随机变量
我们称若干个随机变量
由此可见,若干随机变量 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。
期望
定义
如果一个随机变量的取值个数有限(比如一个表示骰子示数的随机变量),或可能的取值可以一一列举出来(比如取值范围为全体正整数),则它称为 离散型随机变量。
形式化地说,一个随机变量被称为离散型随机变量,当它的值域大小 有限 或者为 可列无穷大。
一个离散型随机变量
其中
请读者自行验证连等式中的第二个等号。
连续型随机变量的期望
如果一个随机变量的取值不可列(比如值域为
性质
- 全期望公式:
,其中 是随机变量, 是在 成立的条件下 的期望(即“条件期望”)。可由全概率公式证明。 - 期望的线性性: 对于任意两个随机变量
(不要求相互独立),有 。利用这个性质,可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量,分别求这些变量的期望值,最后相加得到所求变量的值。 - 乘积的期望: 当两个随机变量
相互独立时,有 。
例题
NOIP2016 换教室(概率期望 DP)
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